√1+√2+...+√n

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{\left(\sum_{k=0}^n\sqrt k\right)-\left(\dfrac23n\sqrt n+\dfrac12\sqrt n\right)\right\}=-\dfrac1{\sqrt{e^\pi}}\) の真偽とその証明について知ってる人がいたら教えてほしい。

偽で、\(\zeta\left(-\dfrac12\right)\) になるらしい。

\(-\dfrac1{\sqrt{e^\pi}}=-0.207879\dots,\)

\(\zeta\left(-\dfrac12\right)=-0.207886\dots\)